בגרות קיץ 2025 מועד א׳ – פירמידה שבסיסה מקביליתוקטורים 572 · שיעור 43
קיץ 2025 מועד א׳, שאלה 2
בגרות קיץ 2025 מועד א׳ – פירמידה שבסיסה מקבילית
פרק 10 – 10 שאלות בגרות 572 – וקטורים
1נוסח השאלה
2סעיף א – הווקטור SM
3סעיף ב – הוכחה ש־|u| = |v|
4סעיף ג – שיעורי D ו־C
5סעיף ד – משוואת המישור
6סעיף ה – הטענות I ו־II
📄 נוסח השאלה
נתונה פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא מקבילית.
SA הוא גובה הפירמידה.
הנקודה M היא אמצע האלכסון BD.
נסמן: AS = w , AD = v , AB = u.
א. הביעו באמצעות u , v , w את הווקטור SM.
📄 נוסח השאלה · המשך
נתון כי SM מאונך ל־DB.
ב. הוכיחו כי |u| = |v|.
נתון: A(0 , 0 , 0) , B(0 , 5 , 0) , S(0 , 0 , 6) , D(3 , p , 0) , p > 0.
ג. מצאו את שיעורי הנקודות D ו־C.
דרך האלכסון AC מעבירים מישור המקביל למקצוע SD. המישור חותך את המקצוע SB בנקודה K.
📄 נוסח השאלה · המשך
ד. מצאו את משוואת המישור.
ה. לפניכם שתי טענות I–II. קבעו בעבור כל אחת מן הטענות אם היא נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעותיכם.
I. הישר KM מקביל לישר SD.
II. כל ישר שמאונך למישור ACK, מאונך לישר SD.
סעיף א – הווקטור SM
M אמצע BD, ולכן:
AM = 12(AB + AD)
📐 אמצע קטע (וקטורים)
נציב AB = u , AD = v:
AM = 12(u + v)
SM = SA + AM
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
נציב SA = −w , AM = 12(u + v):
📐 אמצע קטע (וקטורים)
AM = 12(AB + AD)
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
PQ + QR = PR
סעיף א – הווקטור SM · המשך
נציב SA = −w , AM = 12(u + v):
SM = −w + 12u + 12v
✅ פתרון סופי: SM = 12u + 12v − w
סעיף ב – הוכחה ש־|u| = |v|
DB = DA + AB
נציב DA = −v , AB = u:
DB = −v + u = u − v
הווקטורים מאונכים, ולכן המכפלה הסקלרית 0:
SM · DB = 0
📐 וקטורים מאונכים
נציב SM = 12u + 12v − w , DB = u − v:
📐 וקטורים מאונכים
a ⊥ b ⟸ a · b = 0
סעיף ב – הוכחה ש־|u| = |v| · המשך
נציב SM = 12u + 12v − w , DB = u − v:
(12u + 12v − w) · (u − v) = 0
נפתח סוגריים:
12u2 − 12u · v + 12v · u − 12v2 − w · u + w · v = 0
SA גובה, ולכן w מאונך לבסיס. נציב w · u = w · v = 0:
12u2 − 12u · v + 12v · u − 12v2 − 0 + 0 = 0
סעיף ב – הוכחה ש־|u| = |v| · המשך
12u2 − 12u · v + 12v · u − 12v2 − 0 + 0 = 0
המכפלות u · v ו־v · u שוות, ולכן הן מתקזזות:
12u2 − 12v2 = 0
נציב u2 = |u|2 , v2 = |v|2:
12|u|2 − 12|v|2 = 0
📐 ריבוע וקטור
|u|2 = |v|2
📐 ריבוע וקטור
a · a = |a|2
סעיף ב – הוכחה ש־|u| = |v| · המשך
|u|2 = |v|2
|u| = |v|
✅ פתרון סופי: הוכח: |u| = |v|
סעיף ג – שיעורי D ו־C
לפי סעיף ב, AD = AB. AB = 5:
AD = |AD| = √a2 + b2 + c2
📐 אורך וקטור
נציב AD = D − A = (3 , p , 0):
AD = √32 + p2 + 02 = 5
9 + p2 = 25
p2 = 16 ⟸ p = 4 (p > 0)
📐 אורך וקטור
|(a , b , c)| = √a2 + b2 + c2
סעיף ג – שיעורי D ו־C · המשך
p2 = 16 ⟸ p = 4 (p > 0)
D(3 , 4 , 0)
במקבילית BC = AD = (3 , 4 , 0):
C = B + AD
📐 נקודה בעזרת וקטור
נציב B(0 , 5 , 0) , AD = (3 , 4 , 0):
C = (0 + 3 , 5 + 4 , 0 + 0)
📐 נקודה בעזרת וקטור
P = S + SP
סעיף ג – שיעורי D ו־C · המשך
C = (0 + 3 , 5 + 4 , 0 + 0)
C(3 , 9 , 0)
✅ פתרון סופי: D(3 , 4 , 0) , C(3 , 9 , 0)
סעיף ד – משוואת המישור
AC = C − A
נציב C(3 , 9 , 0) , A(0 , 0 , 0):
AC = (3 − 0 , 9 − 0 , 0 − 0)
AC = (3 , 9 , 0)
SD = D − S
📐 וקטור בין שתי נקודות
נציב D(3 , 4 , 0) , S(0 , 0 , 6):
📐 וקטור בין שתי נקודות
PQ = Q − P
סעיף ד – משוואת המישור · המשך
נציב D(3 , 4 , 0) , S(0 , 0 , 6):
SD = (3 − 0 , 4 − 0 , 0 − 6)
SD = (3 , 4 , −6)
המישור מכיל את AC ומקביל ל־SD, ולכן הנורמל (a , b , c) מאונך לשניהם:
(a , b , c) · AC = 0
📐 וקטורים מאונכים
(a , b , c) · SD = 0
📐 וקטורים מאונכים
a ⊥ b ⟸ a · b = 0
סעיף ד – משוואת המישור · המשך
(a , b , c) · SD = 0
נציב AC = (3 , 9 , 0) , SD = (3 , 4 , −6):
(a , b , c) · (3 , 9 , 0) = 0
3a + 9b = 0
(a , b , c) · (3 , 4 , −6) = 0
3a + 4b − 6c = 0
סעיף ד – משוואת המישור · המשך
3a + 4b − 6c = 0
מהראשונה a = −3b . במשוואה השנייה:
3a + 4b − 6c = 0
נציב a = −3b:
3 · (−3b) + 4b − 6c = 0
−9b + 4b − 6c = 0
סעיף ד – משוואת המישור · המשך
−9b + 4b − 6c = 0
כלומר c = −5b6 . ניקח b = −6 (כדי לקבל מספרים שלמים):
(a , b , c) = (18 , −6 , 5)
ax + by + cz + d = 0
📐 משוואת מישור
נציב (a , b , c) = (18 , −6 , 5):
18x + (−6)y + 5z + d = 0
📐 משוואת מישור
ax + by + cz + d = 0
(a , b , c) – וקטור נורמל
(a , b , c) – וקטור נורמל
סעיף ד – משוואת המישור · המשך
18x + (−6)y + 5z + d = 0
המישור עובר דרך A:
18x − 6y + 5z + d = 0
נציב A(0 , 0 , 0):
18 · 0 − 6 · 0 + 5 · 0 + d = 0
d = 0
סעיף ד – משוואת המישור · המשך
d = 0
18x − 6y + 5z = 0
✅ פתרון סופי: 18x − 6y + 5z = 0
סעיף ה – הטענות I ו־II
הנקודה K: הצגה פרמטרית של הישר SB:
(x , y , z) = S + s · SB
נציב S(0 , 0 , 6) , SB = B − S = (0 , 5 , −6):
(x , y , z) = (0 , 0 , 6) + s · (0 , 5 , −6)
(x , y , z) = (0 , 5s , 6 − 6s)
הנקודה K נמצאת במישור:
סעיף ה – הטענות I ו־II · המשך
הנקודה K נמצאת במישור:
18x − 6y + 5z = 0
נציב x = 0 , y = 5s , z = 6 − 6s:
18 · 0 − 6 · 5s + 5(6 − 6s) = 0
0 − 30s + 5(6 − 6s) = 0
30 − 60s = 0 ⟸ s = 12
סעיף ה – הטענות I ו־II · המשך
30 − 60s = 0 ⟸ s = 12
K = (0 , 5s , 6 − 6s)
נציב s = 12:
K = (0 , 5 · 12 , 6 − 6 · 12)
K(0 , 2.5 , 3)
טענה I. M אמצע BD:
סעיף ה – הטענות I ו־II · המשך
טענה I. M אמצע BD:
M = (xB + xD2 , yB + yD2 , zB + zD2)
נציב B(0 , 5 , 0) , D(3 , 4 , 0):
M = (0 + 32 , 5 + 42 , 0 + 02)
M(1.5 , 4.5 , 0)
KM = M − K
סעיף ה – הטענות I ו־II · המשך
KM = M − K
נציב M(1.5 , 4.5 , 0) , K(0 , 2.5 , 3):
KM = (1.5 − 0 , 4.5 − 2.5 , 0 − 3)
KM = (1.5 , 2 , −3)
KM = 12(3 , 4 , −6)
KM = 12SD
סעיף ה – הטענות I ו־II · המשך
KM = 12SD
הווקטורים מקבילים (וגם: K ו־M אמצעי SB ו־BD, כלומר KM קטע אמצעים במשולש SBD). טענה I נכונה.
טענה II. המישור ACK הוא המישור מסעיף ד, והוא מקביל ל־SD. ישר המאונך למישור מקביל לנורמל (18 , −6 , 5), ולפי הבנייה בסעיף ד:
המכפלה הסקלרית של הנורמל (18 , −6 , 5) ב־SD = (3 , 4 , −6):
18 · 3 + (−6) · 4 + 5 · (−6) = 54 − 24 − 30 = 0
כלומר כיוון כל ישר כזה מאונך לכיוון SD. טענה II נכונה.
סעיף ה – הטענות I ו־II · המשך
כלומר כיוון כל ישר כזה מאונך לכיוון SD. טענה II נכונה.
✅ פתרון סופי: I – נכונה ; II – נכונה
📌 סיכום התשובות
סעיף א
12u + 12v − w
סעיף ב
הוכחה
סעיף ג
D(3 , 4 , 0)
C(3 , 9 , 0)
C(3 , 9 , 0)
סעיף ד
18x − 6y + 5z = 0
סעיף ה
I נכונה, II נכונה
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא